Ελικοειδή ελατήρια

[agior]

Ελικοειδή ελατήρια

πυκνής έλασης, με σύρμα κυκλικής διατομής και συμπιεσμένες τις ακραίες σπείρες

Όλοι το γνωρίζετε εξ όψεως, ας το γνωρίσουμε λοιπόν λίγο περισσότερο. Το κατασκευάζουμε από σύρμα διαμέτρου  d τυλιγμένο έτσι ώστε να διαμορφώνουμε έλικα μέσης διαμέτρου D, γωνίας έλικας α, βήματος p και ολικού αριθμού σπειρών nt. Ο τελευταίος αριθμός αυτός είναι το πλήθος των σπειρών που παρεμβάλλονται πριν τα διαμορφωμένα άκρα (βλέπε πίνακα 1) στη πιο κάτω φωτό είναι nt ≈ 8 1/2.



Η πυκνή έλαση απαιτεί μια μικρή γωνία, ας πούμε   α ≤ 12^o, όπου  εφα = p/π D.

Μπορούν να τυλιχτούν σε ελατήριο πολλά πάχη σύρματος, αλλά η διαθεσιμότητα των έτοιμων ελατηρίων βελτιώνεται με τη χρήση της σειράς R20 από AS 2338 ειδικά τα  0.8   0.9   1.0   1.12   1.25   1.4   1.6   1.8   2   2.24   2.5   2.8   3.15   3.55   4   4.5   5   5.6   6.3   7.1   8   9   10   11.2   12.5   κλπ (σε mm)

Ο λόγος της μέσης διαμέτρου προς το πάχος σύρματος είναι ο δείκτης του ελατηρίου (spring index),   C = D/d.  Δυο ελατήρια με την ίδια μέση διάμετρο αλλά διαφορετικά πάχη σύρματος έχουν συνεπώς διαφορετικό δείκτη. Προφανές είναι πως χαμηλός δείκτης συνεπάγεται δυσκολία στην κατασκευή του και ανεπιθύμητες εσωτερικές τάσεις που αναπτύσσονται στο υλικό λόγω της καμπύλωσης. Προτιμούμε ελατήρια με δείκτες  5 ≤ C ≤ 10 ενώ πρακτικά αποφεύγουμε ελατήρια με δείκτη λιγότερο από 3.



Το φορτίο μεταφέρεται στο ελατήριο μέσω των εδράνων (platens) που είναι τις περισσότερες φορές απλές, λείες επιφάνειες που ακουμπούν στα άκρα του ελατηρίου. Δείτε κάποιες μορφές κατεργασίας άκρων στον πιο κάτω πίνακα 1.

Στεγνής κοπής (Plain) – το σύρμα απλά κόβεται στο επιθυμητό μήκος – συνηθίζονται μόνο στους μεγάλους δείκτες σε εφαρμογές ελαφρού τύπου εκτός αν βάλουμε ροδέλες ή οδηγούς, επειδή κάθε άκρη εφάπτεται στην έδρα της σε τυχαίο σημείο εκτός του άξονα του κι αυτό συνεπάγεται λυγισμό και ανομοιομορφία απόδοσης.

Τροχισμένων άκρων (Ground) που διανέμουν πιο ομοιόμορφα το φορτίο από τα προηγούμενα, παρ' όλα αυτά το τόξο επαφής υπολείπεται των 360o που θα ήταν ιδανικό για την ευθυγράμμιση της φέρουσας επιφάνειας και του άξονα του ελατηρίου.

Μια ή περισσότερες σπείρες στις άκρες του ελατηρίου μπορούν να φτιαχτούν με μηδενικό βήμα, αυτό λέγεται κλειστού άκρου ( squared or closed end). Αν λειάνουμε μάλιστα και τις κομμένες επιφάνειες φτιάχνουμε μια άριστη έδρα για ομοιόμορφη μεταφορά φορτίου και γι αυτό το λόγο τα κλειστά και γυαλισμένα άκρα (squared and ground) προδιαγράφονται ως απαραίτητα στις σοβαρές εφαρμογές. Η λείανση καθίσταται δύσκολη σε δείκτες πάνω από 10 και προφανώς είναι ασύμβατη σε μικρότερα σύρματα ,  πχ  του 0.5 mm.

Οι ενεργές σπείρες (  active turns)  n_a είναι αυτές που ουσιαστικά παραμορφώνονται με τη φόρτιση του ελατηρίου, σε αντιδιαστολή με τις ανενεργές σπείρες στα άκρα, αυτές δηλαδή που έρχονται σε επαφή με την πλάκα και δεν παραμορφώνονται, αν και κινούνται σαν ένα σώμα με την πλάκα φόρτισης  (βλέπε σχήμα).

Το ελεύθερο μήκος  ( free length)   L_o ενός ελατηρίου συμπίεσης  είναι το μήκος που έχει προ συναρμολόγησης και προφανώς προ της φόρτισης.

Το μήκος συσπείρωσης  ( solid length)   L_s του ίδιου ελατηρίου είναι το μήκος που επιφέρει το ελάχιστο απαιτούμενο φορτίο  και προκαλεί κλείσιμο όλων των διακένων μεταξύ των σπειρών.

Ο πίνακας 1 δείχνει πως τα   n_a, L_o and L_s εξαρτώνται με τη διάμετρο σύρματος, τις ολικές σπείρες, το βήμα και το είδος άκρων, χρησιμοποιήστε με προσοχή στις προβλέψεις του  Πίνακα αυτού – ειδικά όταν έχετε λιγότερες από 7 σπείρες – λόγω της εγγενούς μεταβλητότητας στις διαδικασίες καθετότητας, επιπέδωσης και λείανσης.



Τα ελατήρια που φαίνονται εδώ είναι δεξιόστροφα αλλά το ίδιο συνηθισμένα είναι και τα αριστερόστροφα. Το βήμα δεξιά-αριστερά δεν επηρεάζει την απόδοση, εκτός από την περίπτωση που έχουμε ελατήρια ομοαξονικά το ένα μέσα στο άλλο οπότε τους δίνουμε αντίθετης φοράς βήμα για να μην αλληλοεπηρεάζονται. Μια άλλη ενδιαφέρουσα ιδιότητα των κλειστών στα άκρα ελατηρίων είναι πως δεν μπλέκονται μεταξύ τους όταν βρίσκονται μέσα σε κοινή συσκευασία, πολλές φορές αυτό είναι κρίσιμο σε μια διαδικασία συναρμολόγησης.

Ιδιότητες ελατηρίου
Η απόδοση ενός ελατηρίου χαρακτηρίζεται με τη σχέση μεταξύ φορτίου που ασκείται ( F) και της μεταβολής μήκους ( δ) που αυτό επιφέρει, παρατηρήστε το πιο κάτω πολύ περιγραφικό διάγραμμα.



Η ιδιότητα F-δ περιγράφεται σε μια σχεδόν γραμμική συνάρτηση (α' βαθμού) με την προϋπόθεση οι σπείρες να είναι σχετικά πυκνές και το υλικό κατασκευής αρκετά ελαστικό. Η κλίση της ευθείας F-δ  είναι γνωστή σαν σκληρότητα του ελατηρίου (stiffness, rate) k = F/δ   (aka σταθερά ελατηρίου) και καθορίζεται από την γεωμετρία του ελατηρίου και του μέτρου ελαστικότητας G του υλικού του, όπως θα δούμε.

Σχεδιάζουμε το ελατήριο με τρόπο που το όριο ελαστικότητας ( yield limit) συνήθως να είναι ανώτερο του ορίου συσπείρωσης (solidity limit), έτσι ώστε να μην φτάσει ποτέ το ελατήριο σε μη γραμμική συμπεριφορά ακόμα κι αν συμπιεστεί πλήρως κατά τη διάρκεια της συναρμολόγησης προ χρήσεως. Μερικές φορές όμως σκόπιμα μπορεί να φτάσουμε το όριο ελαστικότητας ( pre-set ) κατά την διαδικασία, όπως θα δούμε παρακάτω.

Το σχήμα δείχνει ένα ελατήριο που εργάζεται μεταξύ μιας ελάχιστης ( F_lo, δ_lo) και μιας μέγιστης επιχειρησιακής κατάστασης ( F_hi, δ_hi). Στην περίπτωση που οι ολικοί κύκλοι φορτίσεων είναι λίγοι – πχ λιγότεροι από 10⁴ – τότε η φόρτιση μπορεί να θεωρηθεί στατική αλλιώς εφαρμόζονται συνθήκες κοπώσεως υλικού.

Το μέγιστο χρήσιμο μήκος ελατηρίου θα πρέπει να είναι μικρότερο από το ελεύθερο μήκος για να αποφύγουμε την πιθανότητα να χαθεί η επαφή μεταξύ ελατηρίου και εδράνου  και του συνεπακόλουθου κτύπου όταν αποκατασταθεί η επαφή. Σε εφαρμογές με μεγάλη συχνότητα κύκλων αυτό μπορεί να επιτευχθεί με τον περιορισμό F_hi/F_lo ≤ 3.

Την στιγμή που το ελατήριο πλησιάζει την συσπείρωση, μικρές διαφορές στο βήμα μεταξύ των σπειρών θα οδηγήσει στην προοδευτική επαφή μιας-μιας αντί στην ταυτόχρονη επαφή όλων μαζί. Κάθε επαφή συνεπάγεται σε κρούση, επιφανειακή φθορά και αύξηση της σταθεράς (σκληρότητας) ελατηρίου.

Για να το αποφύγουμε, το ελάχιστο χρήσιμο μήκος θα πρέπει να υπερέχει του μήκους συσπείρωσης  κατά ένα περιθώριο κρούσης ( clash allowance ) ίσο με τουλάχιστον 10% της μέγιστης διαδρομής - δηλαδή   δ_s - δ_hi ≥ 0.1δ_hi με την επιφύλαξη πως μπορεί να χρειαστεί ακόμη μεγαλύτερο περιθώριο όταν έχουμε υψηλές ταχύτητες και/ή μεγάλες ροπές αδρανείας.

Τάσεις και σκληρότητα



Θεωρούμε ένα πεπερασμένο στοιχείο ( σχήμα a) στο κάτω άκρο ελατηρίου με μέση διάμετρο D που ισορροπεί και στο οποίο:
o   εφαρμόζεται εξωτερικό αξονικό φορτίο γνωστής δύναμης  F στην ακραία σπείρα του ελατηρίου, και
o   νοούμε τομή κάθετη στον άξονα του σύρματος σε περιοχή έξω από τις ανωμαλίες κοψίματος του άκρου και στην οποία λόγω ισορροπίας η συνισταμένη των τάσεων αναλύεται στην δύναμη F  και στην ροπή στρέψης   FD/2.

Ο άξονας του σύρματος είναι κεκλιμένος κατά τη γωνία α στο όριο του πεπερασμένου στοιχείου ( σχήμα b).  Στη μεγεθυμένη όψη της τομής αυτής (σχήμα c) βλέπουμε τα σχηματιζόμενα τρίγωνα ροπών/δυνάμεων από τα οποία γίνεται προφανές ότι η συνισταμένη τάση στην ιδεατή τομή συνίσταται από 4 στοιχεία – τη διατμητική δύναμη (F cosα), τη θλιπτική (F sinα), μια ροπή στρέψης   (1/2 FD cosα) και μια ροπή κάμψης (1/2 FD sinα).

Υποθέτοντας μικρή τη γωνία α σε ελατήριο με πυκνές σπείρες, τη στιγμή που πλησιάζει στο μήκος συσπείρωσης ( όταν τα φορτία είναι κρίσιμα) τότε ισχύει   sinα ≈ 0, cosα ≈ 1 και οι κύριες τάσεις είναι πλέον η στρεπτική και η διατμητική. Η μέγιστη διατμητική τάση στο εσωτερικό της σπείρας θα είναι το άθροισμα αυτών των δυο επιμέρους τάσεων :



           τ   =   τ_torsion + τ_direct   =   Tr/J + F/A =
                =   (FD/2) (d/2)/(πd⁴/32) + F/(πd²/4) = (1 + 0.5d/D) 8 FD/πd³ ==>

(1)        τ   =   K 8FC /πd²

                       στην οποία σχέση ο συντελεστής K λαμβάνει μια από τις τιμές :
•   K = 1     όταν ενδιαφέρουν μόνον στρεπτικές ιδιότητες- πχ το ελατήριο συμπεριφέρεται κύρια σαν ράβδος στρέψης, ή
•   K = Ks   ≡   1 + 0.5/C   όταν έχουμε κύρια στατικές εφαρμογές, και
•   K = Kh   ≈   ( C + 0.6)/( C - 0.67)     που αντιστοιχεί σε διάτμηση και σε συγκέντρωση τάσεων στο εσωτερικό του υλικού λόγω καμπύλωσης, κύρια σε εφαρμογές στις οποίες υπεισέρχεται κόπωση υλικού. Αποτελεί προσέγγιση του συντελεστή Henrici  που προκύπτει από περίπλοκη ελαστική ανάλυση. Συχνά προσεγγίζεται και με τον συντελεστή Wahl  Kw = ( 4C - 1)/( 4C - 4) + 0.615/C.

Προφανές ότι οι συντελεστές αυτοί αυξάνονται με τη μείωση του δείκτη ελατηρίου.

Η συσπείρωση δ λόγω φορτίου F υπακούει στο θεώρημα Castigliano,

           δ   =   ∂U/∂F   =   ∂/∂F [ ∫μήκους (T²/2GJ) ds ]       όπου   T = FD/2
                 =   ∫μήκους (T/GJ) (∂T/∂F) ds   =   (T/GJ) (D/2)*(μήκος σύρματος)
                 =   (FD/2GJ) (D/2) n_aπD      
το οποίο οδηγεί στη σχέση

(2)     k   =   F/δ   =   Gd / (8n_aC³)       στην οποία ο  n_a είναι ο αριθμός των ενεργών σπειρών (πίνακας 1).

Παρά τις απλοποιήσεις που έγιναν, η σχέση ( 2) συμφωνεί καλά με τα πειραματικά αποτελέσματα, αρκεί να εισαχθεί σωστή τιμή μέτρου ελαστικότητας, πχ   G = 79.3 GPa για τον απλό ανθρακούχο χάλυβα ψυχρής έλασης και G = 70.3 GPa για τον ανοξείδωτο χάλυβα.

Η τυπική ανοχή στη διάμετρο σύρματος μικρότερου των 0.8mm είναι 0.01mm, έτσι λοιπόν το σφάλμα στη θεωρητική προσέγγιση για τα ελατήρια με λεπτό σύρμα μπορεί να είναι μεγάλο, λόγω των υψηλών εκθετών που υψώνονται οι τιμές διαμέτρου σύρματος στις εξισώσεις. Επίσης πρέπει να γίνει κατανοητό ότι εύκαμπτα στοιχεία όπως είναι τα ελατήρια δεν μπορούν ν' ακολουθήσουν τις αυστηρές κατασκευαστικές ανοχές που θέτουμε για τα άκαμπτα στοιχεία.  Ο μελετητής του ελατηρίου πρέπει να γνωρίζει αυτές τις ιδιαιτερότητες. Παραλλαγές στο μήκος και στον αριθμό των ενεργών σπειρών είναι αναμενόμενες, έτσι τα ελατήρια με κρίσιμο ρόλο προδιαγράφονται κυρίως με συγκεκριμένη ανοχή στη σταθερά τους (σκληρότητα) αντί για ακρίβεια στη διάμετρο τους.

Λυγισμός



Τα ελατήρια συμπίεσης δεν διαφέρουν από άλλα στοιχεία που φορτίζονται με θλιπτικές δυνάμεις και λυγίζουν αν η παραμόρφωσή τους (δηλ. το φορτίο) ξεπεράσει μια κρίσιμη τιμή   δ_crit  που εξαρτάται από το λόγο   L_o/D  :
( 3a)     c₁ δ_crit /L_o   =  1-√(1 - ( c₂ D/ λL_o )² )  
στην οποία σχέση οι σταθερές ορίζονται για τον  χάλυβα ως :
c1   =   ( 1 + 2ν)/( 1 + ν)   =   1.23  και  
c2   =   π √( ( 1 + 2ν)/( 2 + ν))   =   2.62

Η παράμετρος τρόπου συμπίεσης   λ  αντανακλά τη μέθοδο που φορτίζουμε το ελατήριο. Αν και τα δυο άκρα έχουν αξονικούς οδηγούς και είναι ελεύθερα σε περιστροφή (ράβδος κρεμασμένη ελεύθερη σε περιστροφή), τότε λ = 1. Αν και τα δυο άκρα έχουν αξονικούς οδηγούς αλλά δεν είναι ελεύθερα σε περιστροφή, τότε   λ = 0.5.

Ένας άλλος τρόπος για να γραφτεί η ( 3a) για αποτίμηση κρίσιμου ελεύθερου μήκους για δεδομένη παραμόρφωση είναι :
( 3b)     L_o.crit   =   [ 1 + ( c₂D/c₁λδ )²] c₁δ /2
________________________________________

πηγή http://www-mdp.eng.cam.ac.uk/web/library/enginfo/textbooks_dvd_only/DAN/springs/intro/intro.html

[agior]

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Υπολογίστε την σκληρότητα και το μέγιστο επιχειρησιακό φορτίο του χαλύβδινου ελατηρίου πυκνής έλασης με καθετοποιημένες και λειασμένες άκρες που φαίνεται στο σχήμα.


Διάμετρος σύρματος   d = 4 mm και εξωτερική διάμετρος   Do = 30 mm, έτσι η μέση διάμετρος είναι   D = Do - d = 26 mm και ο δείκτης είναι   C = D/d = 6.5

Οι συντελεστές ( 1) είναι   K_s = 1+0.5/C = 1.08;   K_h = (C+0.6)/(C-0.67) = 1.22

Μετράμε τώρα τον ολικό αριθμό σπειρών. Οπωσδήποτε θα υπάρχει μια ανακρίβεια επειδή δεν είναι δυνατή η φυσική επισκόπηση ενός τέτοιου ελατηρίου. Η ακραία σπείρα αριστερά τερματίζει προς τα πάνω πάρα πολύ λεπτή, «τρίχα» που λέμε, και το ακραίο σημείο της βρίσκεται σε κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από τον άξονα του ελατηρίου (φανταστείτε το πριν το τρόχισμα).

Με αρχή μέτρησης αυτό το σημείο, ακολουθώντας το σύρμα γύρω-γύρω, προς τον παρατηρητή, μετά προς τα κάτω, μετά περνάμε πίσω απ το επίπεδο, ανεβαίνουμε προς τα πάνω και ξανασυναντάμε το επίπεδο στο σημείο 'a' το οποίο αντιστοιχεί στην πρώτη πλήρη περιστροφή. Ωραία.

Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία, φτάνουμε στο σημείο 'b' έπειτα από 11 πλήρεις στροφές. Πάλι ωραία.

Συνεχίζοντας από το  'b' προς τα κάτω συναντάμε το επίπεδο μετά από μισή ακόμα στροφή, διακρίνοντας ακόμα λίγο σύρμα.

Θεωρούμε λοιπόν ότι χρειάστηκαν 3/4 της στροφής μετά το 'b', έτσι προκύπτει   n_t ≈ 11 3/4 σπείρες. Στην πράξη όμως δεν τροχίζουμε «στην τρίχα»  όπως βλέπουμε στο πιο κάτω επικαδμιωμένο ελατήριο βαλβίδων.


Απ τον πίνακα 1 (προηγούμενο ποστ) οι ενεργές σπείρες είναι   n_a = n_t -2 = 9 3/4

Το μήκος συσπείρωσης είναι   L_s = n_td = 47 mm και το βήμα είναι   p = ( L_o -2d)/n_a = ( 85 -8)/9 3/4 = 7.9 mm.  

Η γωνία της έλικας που αντιστοιχεί είναι   α = arctan( p/D) = 5.5^o δηλαδή το ελατήριο είναι σίγουρα πυκνό.

Από τη ( 2) :   k = Gd /8 n_aC³ = 79 x 10³ x 4 / (8 x 9.75 x 6.5³) = 14.8 Ν/mm

Το   δ_s είναι L_o -L_s = 38 mm έτσι προκύπτει φορτίο συσπείρωσης F_s = k δ_s = 14.8 x 38 = 560 N.

Υποθέτοντας πως η συσπείρωση δεν θα εμφανίζεται συχνά και έτσι θα είναι εκτός ζώνης φόρτισης, το ως άνω υπολογισθέν φορτίο θα θεωρηθεί στατικό, έτσι ο συντελεστής διάτμησης Ks θα εφαρμοστεί στην (1) και η μέγιστη διατμητική τάση θα υπολογιστεί απ τη σχέση (1) ως :
             τ_s = K_s 8 F_sC / π d² = 1.08 x 8 x 560 x 6.5 / π 4² = 625 MPa.

Για το περιθώριο κρούσης επιπλέον 10%, έτσι   δ_s - δ_hi ≥ 0.1 δ_hi   πχ  δ_hi ≤ δ_s/1.1 = 38/1.1   και προσεγγιστικά   δ_hi = 34 mm.

Υπολογίζοντας όπως στη συσπείρωση,   F_hi = k δ_hi = 14.8 x 34 = 505 N κι έτσι:
             τ_hi = K_s 8 F_hi C / πd² = 1.08 x 8 x 505 x 6.5 /π 4² = 563 MPa – υποθέτοντας στατική φόρτιση πάλι.

Υποθέτοντας ότι έχουμε στήριξη-άρθρωση στα άκρα (λ = 1), γίνεται
λ L_o/c₂D = 1 x 85 /2.62 x 26 = 1.25. Απ τη στιγμή που αυτό είναι μεγαλύτερο της μονάδας, μπορεί να υπάρξει λυγισμός, προχωράμε λοιπόν μέσω της σχέσης ( 3a):
             δ_c = { 1 - √( 1 - 1/1.25² )} x 85/1.23 = 27 mm
και επειδή η μέγιστη  δhi υπερέχει της δc θα υπάρξει οπωσδήποτε λυγισμός, εκτός αν βάλουμε οδηγό στο ελατήριο ή το περιβάλλουμε με χιτώνιο.

Εναλλακτικά, αν δεν επιτρέψουμε περιστροφή άκρων, δηλαδή ( λ = 0.5) θα γίνει   λLo/c2D < 1 και το οποίο αυτόματα εγγυάται σταθερότητα.

[nekfjr]

Ωραία,πάω να υπολογίσω το λυγισμό στο 40εκ. ελατήριο που θα βάλω στο HATSAN 135.... ;)
Συγχαρητήρια AGIOR πάντα τέτοια...
Ή μήπως να ασχοληθώ με το 90αρι που δεν έχει ελατήρια και αηδίες.... ;D ;D ;D

[Christopher]

 :o :o :o :o :o :o :o :o :o :-* :-* :-* :-* :-* :-* :-* :-*

[ssbk23]

Γιατρέ μου..... τα σέβη μου !!!!!!!

[Piperman]

Γιώργη μπράβο  :)

[panik]

Μπράβο!

[asrael]

Γιώργο άψογος ..... WFKS approved. Ηθελα να γράψω κάτι αντίστοιχο με ότι έχω βρεί για αυτά τα θέματα .... αλλά τα κάλυψες :)

Αντε να δούμε το επόμενο :)

[george1212]

καλο ...εψαχνα κατι τετοιο....μα εχασα την μπαλα με τα μαθηματικα .....λεει πολλα, ομως  για αποφοιτους τεη και πανω..... και ετσι μενο στα ειδια   .... :D :D :D :D :D

[ikuzusfanis]

holly shit  :o :o :o  που λεν και οι αγγλοι

[ajax]

νιωθω αγραμματος..!!!

??? ??? ???